神系统:从高三开始引领科技革命

罗曼黑斯廷斯

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第8章 仿射变换的降维打击

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顾知夏还处于怔愣之中,几乎是下意识地,便将手中的自动铅笔递了过去。

陈启明接过笔。

他的笔尖,精准地落在了刚才他手指轻点的那片空白处。

“你觉得这道题难,”陈启明开口了,声音不大,却如同惊雷般在王宇和顾知夏的耳边炸响,“是因为你的思维,被禁锢在了代数计算的牢笼里。而它的本质,是几何。”

话音未落,他的笔,动了!

没有设方程,他只是在草稿纸上,以惊人的速度和精度,徒手画出了一个完美的直角坐标系和一条弧度无可挑剔的抛物线!

“看这里,”这一次,他的话是专门对顾知夏说的,语气温和而清晰,彻底将身旁脸色铁青的王宇当成了空气,“这道题,考核的不是你的计算能力,而是思维能力。

“椭圆的标准方程是x2\/a2+y2\/b2=1,这道题目之所以计算量大呢,除了设的直线本身也含未知数k,b,也因为椭圆的a和b不相等,于是导致所有的斜率、距离计算都变得异常复杂。但如果……他是一个圆呢?”

“圆?”顾知夏下意识地重复了一句,脑子依然有些短路。

“对,一个圆。”

陈启明在第一个坐标系的旁边,闪电般画出了第二个同样完美的直角坐标系。这一次,他在其中画下了一个正圆。

“我们来做一次‘升维’,或者说,换一个‘视角’来看它。”陈启明一边说,手中的笔一边在草稿纸上写下一行简单的变换式,“就像换元那样,令x=x,y=y*a\/b。不过一般都把这种叫做‘仿射变换’。”

他的笔尖在变换式上轻轻一点,然后指向那个椭圆。

“在这个变换下,你来看,原先椭圆上的任意一点 p(x,y),会变成什么?”

顾知夏的脑子在陈启明的引x导下,开始飞速运转。她看着那个变换式,将点的坐标代入……

x2+y2=x2+y2*a2\/b2

这个结果似乎没什么意义……她再次陷入了迷茫。

王宇在一旁,死死地盯着那行变换式,眉头紧锁。仿射变换?这是什么东西?高中数学里根本没有教过!这小子是在故弄玄虚吧?一定是!他强行压下内心的惊涛骇浪,冷哼一声,试图找回场子:“装神弄鬼,直接联立方程靠韦达定理不是更直接?搞这些没用的东西……”

他的话还没说完,就被陈启明接下来的动作彻底噎了回去。

陈启明根本没看他,仿佛他的存在就是一粒微不足道的尘埃。他只是对顾知夏温和地笑了笑,提点道:“别急,你再看看椭圆的原始方程。”

原始方程……x2\/a2+y2\/b2=1

顾知夏的目光在这两个公式之间来回跳转。

x2+y2=x2+y2*a2\/b2

x2\/a2+y2\/b2=1→b2x2+a2y2=a2b2

忽然,一道闪电划破了她脑海中的混沌!

如果……如果将第一个式子里的x2和y2用第二个式子里的关系来表示……不,不对!

陈启明似乎看穿了她的困惑,笔尖轻轻一动,在x2\/a2+y2\/b2=1的两边同时乘以a2

于是,方程变成了:x2+y2*a2\/b2=a2

顾知夏的眼睛瞬间瞪圆了!

左边……左边这一项,不就是刚才她算出来的 x2+y2吗?!

所以……x2+y2=a2!

这……这是一个半径为a的标准圆的方程!

“轰!”

顾知夏只觉得自己的整个世界观都被颠覆了。

原来,那个令人望而生畏、计算繁琐的椭圆,只需要通过一个简单的坐标拉伸,就能变回一个最完美、最和谐、性质最简单的图形——圆!

“现在,我们再来看原来的问题。”陈启明的语气如同一个最耐心的导师,循循善诱,“题目要求的是,过椭圆上任意一点p(x,y)……求面积最值……

整个推导过程,在脑海中一闪而过,清晰、简单、流畅,没有任何停顿!

这……这就求出来了?

王宇在旁边已经彻底看傻了。他虽然没完全听懂那个“仿射变换”的原理,但后面在圆上的推导过程,他却看得一清二楚!那是他再熟悉不过的解题步骤,可他从来没想过,一道复杂的椭圆难题,能以这样一种“降维打击”的方式被瞬间秒杀!

他引以为傲的、那套繁复的代数运算体系,在陈启明所展示的几何思想面前,就像一个用泥巴堆砌的城堡,被一记重锤,砸得粉碎!

“那么,最后一步。”陈启明的声音将顾知夏从震撼中拉了回来,“‘旧世界’和‘新世界’的面积,是什么关系?”

他指了指变换式:x=x,y=y*a\/b

“这个变换,x轴方向的长度没有变,但y轴方向的长度,被拉伸了a\/b倍。所以,任何一个图形,在新世界里的面积,都是旧世界里面积的a\/b倍。”

“反过来说……”

“旧世界的面积,是新世界面积的a\/b倍!”顾知夏脱口而出,声音因为激动而微微颤抖!

“完全正确。”陈启明赞许地点了点头。

他手中的笔,在草稿纸的最后,写下了结论。

写完这最后两个字母,他将自动铅笔轻轻地放在了桌上,发出一声清脆的“嗒”。

整个过程,从他画下第一个坐标系开始,到得出最终答案,用时不到两分钟。

周围死一般的寂静。

王宇的脸色,由铁青转为涨红,再由涨红转为一片惨白。他感觉自己的脸颊火辣辣地疼,像是被人用最响亮的耳光左右开弓,抽了无数次。他所构建起来的、身为“学霸”的骄傲和自信,在这一刻,被彻底击碎,化为齑粉,连一片完整的瓦砾都找不到。

这已经不是解题了,这是碾压,是屠杀!是一种他无法理解、无法企及的,来自更高维度的智慧的无情碾压!

顾知夏则完全沉浸在一种前所未有的震撼和喜悦之中。她感觉自己面前一扇尘封已久的大门被轰然推开,门外是她从未想象过的、一个绚烂多彩的数学新世界。原来,数学可以如此优美,如此简洁,如此充满思想的魅力!

她抬起头,看向陈启明的眼神,已经彻底变了。

那不再是看待一个普通同学的眼神,而是像在仰望一座深不可测、巍峨耸立的高山。

这个平日里低调沉默的男生,他的身体里,究竟隐藏着怎样一片浩瀚的星辰大海?

陈启明仿佛只是做了一件微不足道的小事,他拿起顾知夏递过来的自动铅笔,重新放回她的笔袋里,动作轻柔。

“我有讲明白吗?”他轻声问,依旧是只对着顾知夏。

“嗯……懂了。”顾知夏用力地点了点头,脸颊微红,不知是因激动还是别的什么。

“记住,数学的本质不只是计算,”陈启明站起身,留给两人一个淡然的背影,“还有思想,数学思维!”

话音落下,他便转身,从两人之间从容地走了过去,只留下满室的寂静,和一个被彻底颠覆的世界。

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